Analyse : L'étude la dérivation - Spécialité
Application de la dérivation : Les fonctions quelconques
Exercice 1 : Tableau de variations d'une fonction (ax + b) * (cx + d) ou (ax + b) / (cx + d)
Compléter le tableau de variations de la fonction suivante :
\[ f:x \mapsto \dfrac{-4x + 8}{3x -7} \]
Exercice 2 : Etablir le tableau de variations d'une fonction à partir du tableau de signes de sa dérivée
Soit une fonction \(f\) dont le tableau de signes
de sa dérivée est donné ci-dessous :
{"n_intervals": 3, "edges": [-3, -2, 0, 1], "variations_values": [-7, -8, 4, 1], "variations": ["-", "+", "-"], "signe": ["-", "+", "-"], "signe_values": [0, 0], "left_signe_value": false, "right_signe_value": false, "has_edges": false}
Etablir le tableau de variations de \(f\) en sachant que : \(f(-3) = -7\) ; \(f(-2) = -8\) ; \(f(0) = 4\) ; \(f(1) = 1\).
Exercice 3 : Retrouver le graphe de la fonction depuis le graphe de la dérivée
Parmi les couples de courbes suivants, dans quels cas la courbe de droite peut représenter la fonction
dont la dérivée est présentée par la courbe de gauche ?
Parmi les couples de courbes suivants, dans quels cas la courbe du bas peut représenter la fonction
dont la dérivée est présentée par la courbe du haut ?
- A.f'(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-8, 8]], "scale": [30.0, 12.5], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 2.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 2 + ((((x) <= -7))?(2):(((((x) <= 2.0))?(2.0*Math.pow(0.222222222222222 - 0.111111111111111*x, 3) + Math.pow(0.222222222222222 - 0.111111111111111*x, 2)*(4.66666666666667 + 0.666666666666667*x) + 36.0*Math.pow(0.777777777777778 + 0.111111111111111*x, 2)*(0.222222222222222 - 0.111111111111111*x)):(((((x) <= 7.0))?(-2.0*Math.pow(-0.4 + 0.2*x, 3) + Math.pow(1.4 - 0.2*x, 2)*(8.0 - 4.0*x) - 6.0*Math.pow(-0.4 + 0.2*x, 2)*(1.4 - 0.2*x)):(-2))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-30, 30]], "scale": [30.0, 3.3333333333333335], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 7.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -20.0 + ((((x) <= -7))?(2*x):(((((x) <= 2.0))?(15.997256515775 + 5.09190672153635*x - 0.633744855967078*Math.pow(x, 2) - 0.0109739368998628*Math.pow(x, 4) - 0.183813443072702*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(9.86133333333334 + 14.464*x + 0.709333333333333*Math.pow(x, 3) - 5.488*Math.pow(x, 2) - 0.032*Math.pow(x, 4)):(22.6666666666667 - 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
- B.f'(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(1):(((((x) <= 2.0))?(1.0*Math.pow(0.222222222222222 - 0.111111111111111*x, 3) + Math.pow(0.222222222222222 - 0.111111111111111*x, 2)*(2.33333333333333 + 0.333333333333333*x) + 18.0*Math.pow(0.777777777777778 + 0.111111111111111*x, 2)*(0.222222222222222 - 0.111111111111111*x)):(((((x) <= 7.0))?(-2.0*Math.pow(-0.4 + 0.2*x, 3) + Math.pow(1.4 - 0.2*x, 2)*(4.0 - 2.0*x) - 6.0*Math.pow(-0.4 + 0.2*x, 2)*(1.4 - 0.2*x)):(-2))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-15, 15]], "scale": [30.0, 6.666666666666667], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 3.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -10.0 + ((((x) <= -7))?(x):(((((x) <= 2.0))?(7.99862825788752 + 2.54595336076818*x - 0.316872427983539*Math.pow(x, 2) - 0.00548696844993141*Math.pow(x, 4) - 0.0919067215363511*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(5.31466666666667 + 6.624*x + 0.282666666666667*Math.pow(x, 3) - 2.408*Math.pow(x, 2) - 0.012*Math.pow(x, 4)):(15.8333333333333 - 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
- C.f'(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-2, 2]], "scale": [30.0, 50.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(1):(((((x) <= -2.0))?(1.0*Math.pow(-0.4 - 0.2*x, 3) + Math.pow(-0.4 - 0.2*x, 2)*(4.2 + 0.6*x) - 5.0*Math.pow(1.4 + 0.2*x, 2)*(-0.4 - 0.2*x)):(((((x) <= 7.0))?(-1.0*Math.pow(0.222222222222222 + 0.111111111111111*x, 3) + Math.pow(0.777777777777778 - 0.111111111111111*x, 2)*(2.0 + 1.0*x) - 3.0*Math.pow(0.222222222222222 + 0.111111111111111*x, 2)*(0.777777777777778 - 0.111111111111111*x)):(-1))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 2.58333333333333 + ((((x) <= -7))?(x):(((((x) <= -2.0))?(-2.97266666666665 + 4.528*x + 0.285333333333333*Math.pow(x, 3) + 0.014*Math.pow(x, 4) + 1.876*Math.pow(x, 2)):(((((x) <= 7.0))?(-5.21433470507544 + 1.08367626886145*x + 0.00377229080932785*Math.pow(x, 4) + 0.0720164609053498*Math.pow(x, 2) - 0.056241426611797*Math.pow(x, 3)):(2.66666666666667 - x))))));}", [-5, 5]]]}
- D.f'(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 1 + ((((x) <= -7))?(-2):(((((x) <= 0.0))?(0.00583090379008746*Math.pow(x, 3) + 0.0204081632653061*Math.pow(x, 2)*(-6.0 - 0.857142857142857*x) - 3.0*x*Math.pow(1.0 + 0.142857142857143*x, 2)):(((((x) <= 7.0))?(0.00583090379008746*Math.pow(x, 3) + 0.122448979591837*Math.pow(x, 2)*(1 - 0.142857142857143*x) - 3.0*x*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -15.25 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= 0.0))?(19.25 - 1.5*Math.pow(x, 2) - 0.0182215743440233*Math.pow(x, 4) - 0.326530612244898*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(19.25 + 0.326530612244898*Math.pow(x, 3) - 1.5*Math.pow(x, 2) - 0.0182215743440233*Math.pow(x, 4)):(7.105427357601e-15 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
Exercice 4 : Retrouver le graphe de la dérivée depuis le graphe de la fonction
Observer les couples de courbes suivants.
Indiquer dans quels cas \(f'(x)\) peut représenter la dérivée de \(f(x)\).
- A.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-16, 16]], "scale": [30.0, 6.25], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 4.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -6.0 + ((((x) <= -7))?(2*x):(((((x) <= 1.0))?(8.708984375 + 2.3828125*x - 0.009765625*Math.pow(x, 4) - 0.1796875*Math.pow(x, 3) - 0.90234375*Math.pow(x, 2)):(((((x) <= 7.0))?(8.20601851851852 + 0.342592592592593*Math.pow(x, 3) + 3.89814814814815*x - 0.0162037037037037*Math.pow(x, 4) - 2.43055555555556*Math.pow(x, 2)):(9.0 - 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -2 + ((((x) <= -7))?(2):(((((x) <= 1.0))?(2.0*Math.pow(0.125 - 0.125*x, 3) + Math.pow(0.125 - 0.125*x, 2)*(5.25 + 0.75*x) + 24.0*Math.pow(0.875 + 0.125*x, 2)*(0.125 - 0.125*x)):(((((x) <= 7.0))?(-2.0*Math.pow(-0.166666666666667 + 0.166666666666667*x, 3) + Math.pow(1.16666666666667 - 0.166666666666667*x, 2)*(3.0 - 3.0*x) - 6.0*Math.pow(-0.166666666666667 + 0.166666666666667*x, 2)*(1.16666666666667 - 0.166666666666667*x)):(-2))))));}", [-5, 5]]]}
- B.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-20, 20]], "scale": [30.0, 5.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 5.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 0.250000000000014 + ((((x) <= -7))?(x):(((((x) <= -2.0))?(-7.54600000000002 - 0.026*Math.pow(x, 4) - 4.284*Math.pow(x, 2) - 0.568*Math.pow(x, 3) - 11.152*x):(((((x) <= 7.0))?(-2.79595336076819 + 0.13443072702332*Math.pow(x, 3) - 0.504115226337449*Math.pow(x, 2) - 3.88203017832647*x - 0.00788751714677641*Math.pow(x, 4)):(-13.5 - 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((-1 + x) <= -7))?(1):(((((-1 + x) <= -2.0))?(1.0*Math.pow(-0.2 - 0.2*x, 3) + Math.pow(-0.2 - 0.2*x, 2)*(3.6 + 0.6*x) + 15.0*Math.pow(1.2 + 0.2*x, 2)*(-0.2 - 0.2*x)):(((((-1 + x) <= 7.0))?(-2.0*Math.pow(0.111111111111111 + 0.111111111111111*x, 3) + Math.pow(0.888888888888889 - 0.111111111111111*x, 2)*(-3.0 - 3.0*x) - 6.0*Math.pow(0.111111111111111 + 0.111111111111111*x, 2)*(0.888888888888889 - 0.111111111111111*x)):(-2))))));}", [-5, 5]]]}
- C.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -18.6666666666667 + ((((x) <= -7))?(-3*x):(((((x) <= 1.0))?(18.8694661458333 + 1.40234375*x - 0.0107421875*Math.pow(x, 4) - 0.423828125*Math.pow(x, 2) - 0.170572916666667*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(18.400462962963 + 0.314814814814815*Math.pow(x, 3) + 2.81481481481482*x - 0.0162037037037037*Math.pow(x, 4) - 1.84722222222222*Math.pow(x, 2)):(9.66666666666667 + x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -2 + ((((x) <= -7))?(-3):(((((x) <= 1.0))?(-3.0*Math.pow(0.125 - 0.125*x, 3) + Math.pow(0.125 - 0.125*x, 2)*(-7.875 - 1.125*x) + 16.0*Math.pow(0.875 + 0.125*x, 2)*(0.125 - 0.125*x)):(((((x) <= 7.0))?(1.0*Math.pow(-0.166666666666667 + 0.166666666666667*x, 3) + Math.pow(1.16666666666667 - 0.166666666666667*x, 2)*(2.0 - 2.0*x) + 3.0*Math.pow(-0.166666666666667 + 0.166666666666667*x, 2)*(1.16666666666667 - 0.166666666666667*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
- D.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-19, 19]], "scale": [30.0, 5.2631578947368425], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 4.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 21.8333333333334 + ((((x) <= -7))?(3*x):(((((x) <= -2.0))?(-7.77466666666669 + 7.168*Math.pow(x, 2) + 17.504*x + 1.06933333333333*Math.pow(x, 3) + 0.052*Math.pow(x, 4)):(((((x) <= 7.0))?(-16.2695473251029 + 0.345679012345679*Math.pow(x, 2) + 0.01440329218107*Math.pow(x, 4) + 4.46090534979424*x - 0.218106995884774*Math.pow(x, 3)):(12.6666666666666 - 3*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(3):(((((x) <= -2.0))?(3.0*Math.pow(-0.4 - 0.2*x, 3) + Math.pow(-0.4 - 0.2*x, 2)*(12.6 + 1.8*x) - 20.0*Math.pow(1.4 + 0.2*x, 2)*(-0.4 - 0.2*x)):(((((x) <= 7.0))?(-3.0*Math.pow(0.222222222222222 + 0.111111111111111*x, 3) + Math.pow(0.777777777777778 - 0.111111111111111*x, 2)*(8.0 + 4.0*x) - 9.0*Math.pow(0.222222222222222 + 0.111111111111111*x, 2)*(0.777777777777778 - 0.111111111111111*x)):(-3))))));}", [-5, 5]]]}
Exercice 5 : Etablir le tableau de signes de la dérivée à partir du tableau de variations de la fonction
{"n_intervals": 2, "signe": ["+", "-"], "signe_values": [0], "edges": ["-\\infty", "-0,2", "+\\infty"], "has_edges": false, "left_signe_value": false, "right_signe_value": false, "variations": ["+", "-"], "variations_values": ["-\\infty", "5,4", "-\\infty"]}
À partir du tableau de variations de la fonction \(f\) ci dessus,
remplir le tableau de signes de la fonction dérivée de \(f\), notée
\(f'\).